8 CHAPITRE I. 



dans le voisinage de ^' = o. A chaque valeur de V {fig. 5) cor- 

 respondent deux valeurs u^ et u^_ de u égales et de signes con- 

 traires. Ces deux déterminations, suivies par continuité, repren- 



Fis. 



nent les mêmes valeurs quand i;' revient au même point sans avoir 

 tourné autour de l'origine O' ou après avoir tourné un nombre 

 pair de fois autour de O'; elles se permutent, au contraire, quand 

 z^ tourne un nombre impair de fois autour de O'. 



C'est ce que l'on voit immédiatement, comme ci-dessus, pour 

 le point ^ = o (n" 1). On pourra donc remplacer le plan 

 simple ^'O'jk', sur lequel la fonction u de z^ n'est pas uniforme, 

 par une surface de Riemann à deux feuillets raccordés le long 

 d'une ligne de passage O'L' issue de O' et indéfinie dans un sens, 

 dans le sens O^ x\ par exemple. On exprime ce fait, par analogie 

 avec ce qui précède, en disant que la surface de Riemann pri- 

 mitive a un point de ramification à V infini. En ce point ^' == o, 

 les deux déterminations de u sont égales et infinies. 



En résumé, la surface de Riemann à deux feuillets, sur laquelle 

 la fonction u est uniforme, a deux points de ramification ^==o, 

 c = X et une ligne de passage allant de u à l'infini, c'est-à-dire 

 de \ an de ces points à Vautre. 



o. On peut simplifier un peu ces considérations, à l'aide de la 

 transformation suivante. 



Sur le plan xOy de la variable ^, élevons une perpendicu- 

 laire 00' égale à i et, sur 00' comme diamètre, décrivons une 

 sphère {fig. 6). Soit z un point du plan des xy, la droite O':; 

 coupe la sphère en un point Ç et le triangle rectangle O'O^, dans 

 lequel Ov est la hauteur issue du sommet de Tangle droit, donne 



