SURFACES DE R I E M V X X A DEUX FEUILLETS. 9 



On peut donc dire que la sphère est la transformée du plan 

 par ravons vecteurs réciproques, le pôle de transformation 

 étant O'. Nous faisons correspondre ainsi à chaque point -; du 

 plan un point Ç de la sphère et inversement. 



Fis. 6. 



Supposons que le plan œOy soit recouvert par la surface de 

 Rieniann à deux feuillets, précédemment définie, avec la ligne de 

 passage indéfinie OL dirigée suivant O^. Nous avons supposé 

 qu'en chaque point z de chaque feuillet on a inscrit la détermi- 

 nation correspondante de u, de façon que, à chaque point de la 

 surface de Riemann, corresponde un point analytique déter- 

 miné (3, u). Si Ton applique à cette surface de Riemann la trans- 

 formation par rayons vecteurs réciproques que nous venons de 

 définir, chacun des feuillets se transformera en un feuillet sphé- 

 rique : la surface se transformera en une autre, formée de deux 

 feuillets sphériques appliqués sur la sphère, soudés l'un à l'autre 

 le long de la ligne de passage OAO' qui est une demi-circonfé- 

 rence transformée de la demi-droite indéfinie OL. A chaque 

 point analytique (^, u) de la surface de Riemann plane corres- 

 pond un point Ç de la surface de Riemann sphérique, où l'on 

 pourra supposer inscrite la valeur correspondante u et que nous 

 appellerons le point (ï, u) de la surface sphérique. La valeur de 

 la fonction u, en chaque point de la surface de Riemann sphé- 

 rique est ainsi bien déterminée. Quand nous dirons que le point 

 analytique (Ç, u) décrit une courbe sur la surface sphérique à 

 deux feuillets, cela signifiera que le point analytique correspon- 

 dant (g, u) décrit sur la surface de Riemann plane la courl)e 

 correspondante. 



