CHAPITRE 



L'avantag-e de cette nouvelle représentation est que la nouvelle 

 surface de Riemann est limitée; les points à l'infini dans le 

 plan des z ont pour image sur la sphère le seul point O' qu'on 

 appelle le point oo ; on voit, d'après cela, que la surface de 

 lliemann spliérique a deux points de ramification O et O^ et une 

 ligne de passage OAO' joignant ces deux points. 



Pour étudier la fonction u pour des valeurs très grandes de z-, 



nous avons posé z = — • Cette transformation aune interprétation 



géométrique simple dans la figure précédente. Menons en O' le 

 plan tangent à la sphère et, dans ce plan, un axe O' x', parallèle 

 à O^ et de même sens que O^, puis un axe O'y' perpendiculaire, 

 dirigé en sens contraire de Oy. La droite OÇ perce le plan 

 x'O'y' en un point z' qui est précisément la représentation du 

 point z' , lié à z par la relation zz' = i . 



En effet, les deux triangles semblables 00' 3' et O'O^ donnent 



immédiatement 



0^.0'^'= 1; 



de plus, l'angle xOz est égal à x' O' z' . Donc, en vertu de l'orien- 

 tation des axes Oy et O'y' ^ les quantités imaginaires z et z' ont 

 des arguments égaux et de signes contraires, ce qui prouve la 

 relation annoncée zz'=^i. La surface de Riemann sphérique à 

 deux feuillets est donc aussi la transformée par rayons vecteurs réci- 

 proques de la surface de Riemann du plan des x' y' que nous avons 

 introduite pour étudier la fonction «, dans le voisinage de z' ^= o. 

 Remarcjuc. — Si l'on étudiait de même la fonction 



u-^={z~e^){z — e,), 



on verrait qu'elle est uniforme, sur une surface plane à deux 



Fig. 7. 



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feuillets soudés suivant la ligne de passage e^he^ joignant les 

 deux points de ramification (?<, ^2. A l'infini, les deux feuillets sont 



