CHAPITRE I. 



OÙ y/ A désigne Tune des déterminations de la racine da nombre 

 réel ou imaginaire A. Ces deux déterminations u^ et u^ ne peuvent 

 devenir égales à distance finie que si elles sont nulles, car la somme 

 ffs -h U2 est nulle ; elles ne deviennent donc égales qu'aux quatre 

 points e,, ^2, <?3, C/,. 



Lorsque z décrit une courbe fermée entourant un seul des 



points 



C't , Ui et 11-2 ne font que s'échanger. Pai 



exemple, si ^décrit la courbe fermée {^/fg'. 8) G entourant une 

 fois le point <?|, lorsque z est revenu au point de départ, Q, a 

 augmenté ou diminué de 27r, 8^1 ^3, ^4 ont repris leurs valeurs pri- 

 mitives. La valeur w, suivie par continuité s'est donc changée en 

 11-2 et inversement lu en 11^. Si z décrit une courbe fermée entou- 

 rant une fois deux des points e^, e^, ^3, ^z,, par exemple C, cha- 

 cune des deux déterminations Ui et ^^o reprend sa valeur primitive, 

 car deux des arguments 9,, 8^, B^, 84 reprennent la même valeur, 

 chacun des deux autres étant augmenté ou diminué de 211. 



En général, si 5 décrit une courbe fermée quelconque, les valeurs 

 de i/\ et (f2 restent les mêmes ou s'échangent entre elles suivant 

 que le nombre total de tours faits par la variable z autour de 

 chacun des points Ci , <?o, r^^, e,, est pair ou impair, c'est-à-dire sui- 

 vant que la variation de 8, -+- 8;, + 83 + 8., est un multiple pair ou 

 impair de 211. 



7. Voici maintenant comment on forme la surface de Rie- 

 mann correspondante. Prenons deux jîlans séparés P, et P. 



ï^ig- 9 



CAo-f)) limités Tun cl l'autre par un cercle de rayon très grand R 

 décrit de l'origine des coordonnées comme centre : sur chacun de 



