SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. iJ 



ces plans marquons les points ^,, ^o, ^3? ^ij puis enlevons des 

 deux plans les bandes infiniment étroites 



eiaié-o^i, CaYi^iOi, eia.e.S,, esT^^^^s 



comprises entre les points e^ et ^o d'une part et les points e^ et 

 C't d'autre part. jNous avons ainsi percé dans les deux plans quatre 

 ouvertures de forme linéaire deux à deux égales; nous suppose- 

 rons que la variable z ne puisse pas franchir ces ouvertures. 



Supposons que l'on parte du point Co du plan P, avec une déter- 

 mination u^^ : comme z ne peut plus passer entre ^i et ^o ni entrées 

 et 64, quelque soit le chemin que suives pour revenir au point de 

 départ, on obtiendra toujours la même détermination finale de a, 

 car toutes les courbes fermées tracées sur Pj entourent nécessaire- 

 ment un nombre pair de points (?i, e.i, <?3, e-,. Plus généralement, 

 quel que soit le chemin que suive z pour aller, sur P,, du point :^o 

 à un autre point z, la détermination finale lit est toujours la 

 même. Ainsi les deux chemins G et C conduisent en z à la même 

 détermination de u. En effet, soit iii la détermination obtenue 

 en z par le chemin G ; pour trouver la valeur que prend u au 

 même point quand z parcourt le chemin G', on peut faire décrire 

 à z la courbe fermée ^^o^'^G^o suivie du chemin :?oC:?, car cela 

 revient à ajouter au chemin G' le même chemin zCzq parcouru 

 deux fois de suite en sens contraire ; la courbe fermée ^oG'^G^o 

 ramène en ^0 1^ détermination u J, puis le chemin zCzq donne 

 en z la détermination ?/, : donc le chemin G' donne la même déter- 

 mination u^ en z que le chemin G. 



Gette détermination ?/, est une fonction uniforme de :; sur le 

 plan P, avec les deux ouvertures Cj^o et 63^4. On peut remar- 

 quer qu'aux deux bords opposés de l'une des ouvertures les valeurs 

 de iii sont égales et de signes contraires. En effet, soit Ut (a,) la 

 valeur de W| en a, ; si la variable z pouvait parcourir à partir 

 de oLi le chemin a, DD'a, entourant une fois le point ^i, la valeur 

 initiale de u étant w,(a,), la valeur finale au point a, serait 

 — M, (a, ); mais la variable z ne peut pas revenir jusqu'en a, : elle 

 s'arrête sur le bord de l'ouverture ei<?2 au point p^ situé en face 

 de a, . Getteouvertureei Co étant infiniment étroite, la valeur z/, (^t) 

 trouvée en ^j diffère infiniment peu de celle qu'on trouverait en 



