SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. I7 



tracées près du point de croisement toutes deux en traits pleins ou 

 toutes deux en pointillé, car autrement elles se trouvent dans des 

 feuillets dififérenls. 



Point X. — Faisons 3 = - j nous aurons 



y/A -j- \A • ~ fi;')n — e-iz' ){\ — c-iz' )\\ — <^-',) — ^t; ^C-^')- 



Dans le voisinage de ^'=0, le radical qui figure dans celte 

 formule a deux déterminations qui sont l'une et l'autre régulières, 

 c'est-à-dire développables en une série convergente ordonnée 

 suivant les puissances entières de z' . Par exemple, celle des déter- 

 minations du radical qui se réduit à -f-y^A- pour z'^=o est donnée 

 par une série de la forme 



o(z')=v/Â [i — { {e^-\- Ci-r- e-i^ e-^) z' -^ X.z'-^ ^ \iz'^ -^ . . .\; 



l'autre est donnée par la série — 'f (^')- On a donc pour «, dans 

 le voisinage de c'=o, les deux déterminations 



oiz') o{z') 



uniformes toutes deux ; en outre le point c'= o est un pôle de 

 second ordre pour chacune d'elles. On peut donc dire que les deux 

 déterminations de u sont uniformes dans le voisinage du point x qui 

 est un pôle du second ordre pour chacune d'elles : d'après la conven- 

 tion spéciale faite pour le résidu au point oc (voir Introduction), 

 le résidu relatif au point x est — A3 pour la première détermina- 

 lion et -h A3 pour la seconde. 



Les deux feuillets de la surface de Riemann sont donc entière- 

 ment distincts à l'infini, car on ne passe pas d'un feuilleta l'autre 

 en tournant autour du point c'= o. Le point x n'est pas un point 

 de ramification de la surface : ce point est, dans chaque feuillet, 

 un pôle du second ordre de la fonction u. 



8. Si nous représentons la surface de Hiemann sur la sphère 

 (^g. 12), comme nous l'avons fait dans le premier exemple, nous 

 aurons, sur la sphère, une surface formée de deux feuillets super- 



A. ET G. 9. 



