l8 CHAPITRE I. 



posés avec quatre points de ramification s,, s^, ^3, ^o images des 

 points e<, <?2, ^3, <?/,, etdeuxlignes de passages A,2 etAj... On a tracé 

 sur la sphère les chemins correspondants à ceux de \^ fig- ii, 

 dont ils sont les images sphériques. 



Fig. 12. 



9. Soit enfin une équation générale 



u''= î^{z-e,){z — e^)...{z-en), 



où A est une constante différente de zéro, e^^e^-,- . .,<?//? Ji con- 

 stantes différentes. 



Marquons dans le plan des^ les points <?, , e2,.--j ^//- ^^^ fonction u 

 a deux déterminations u^ et u^ égales et de signes contraires, ne 

 pouvant devenir égales pour une valeur finie de z que si elles sont 

 nulles toutes deux; ces déterminations sont donc égales à distance 

 finie aux seuls points Cj, e^^' . .,^/?. Si l'on part d'un point ^o d" 

 plan avec une détermination u^\ et si l'on fait décrire à la variable z 

 une courbe fermée, on retrouve en ^o la détermination ;/" ou 

 l'autre détermination ul suivant que z tourne un nombre pair ou 

 impair de fois autour de certains des points e, , ^2,..., <?,/. 



Pour former les surfaces de Riemann correspondantes et étudier 

 leurs ramifications, il faut distinguer deux cas, suivant que n est 

 pair ou impair. 



10. Premier cas: n impair. — Soit n = ip -\- i . Prenons deux 

 plans séparés V^ et Po, marquons sur chacun d'eux les points e,, 

 ^2,...,^/^; puis, perçons ces plans d'ouvertures respectivement 

 égales et de forme linéaire, les deux premières ^i a< Co Pi et 

 C{ ^-iC-i [^2 joignant les points (?,,e27 les deux suivantes joignant les 

 points ^3, Ci, . . ., les avant-dernières joignant les points (?2/j_i, <?2/?j 



