CHAPITRl!: l. 



Pour obtenir la surface de Riemann, superposons les deux plans 

 de façon à faire coïncider les points ^i, e^, . . . , ^2/7+1 ; soudons, à 

 l'aide de petites bandes de surfaces, chaque bord d'une ouverture 

 du plan P< au bord opposé de l'ouverture correspondante du 

 planPg. Par exemple, le bord Ci ai <?2 sera soudé à ^i p2<?2, et^i l^i ^2 

 à Ci 7.262 par deux bandes de surfaces qui se croisent suivant une 

 ligne de passage Lio; de même, les deux bandes soudant en croire 

 les bords des deux ouvertures superposées e^er, se croisent sui- 

 vant une ligne de passage L3/, , . . ., enfin les deux bandes soudanl 

 les bords opposés des deux ouvertures eop^^, oc se croiseront sui- 

 vant une ligne indéfinie Loyj+i^cxD. 



On obtient ainsi une surface de Riemann à deux feuillets 

 avec ip -\- I points de ramification ^i , eo, . . . , e^pj^^ à distance finie 

 eV p -\- \ lignes de passage 



L12, Lsi, . . . , L2/^-l,2/>, L2;3 + i,^. 



A chaque point de cette surface répond un point analytique 

 {z, u), et réciproquement; quand z varie d'une manière continue 

 sur la surface de Riemann, la valeur correspondante de u vaiic 

 aussi d'une manière continue. 



Cette surface est figurée ici avec les mêmes conventions que 

 précédemment (y^^. 1 4). 



Etudions la fonction dans le voisinage de z=::o. Si l'on fait 

 ve 



^ = - > on trouve 



z 



" = Jij^i_ /(i — ei^') (1 — e^z')...{i — e^j,+iz'). 



