SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 23 



à fait évidente dans l'étude que nous allons faire des fonctions 

 uniformes, et particulièrement des fonctions rationnelles en^ el u 

 sur une surface de Riemann. La surface de Riemann, et non la 

 relation algébrique, sera alors prise comme point de départ, et 

 il est aisé de voir que toute fonction rationnelle sur une surface 

 de Riemann, pour laquelle /i = 2/? -i- 2, peut se ramener à une 

 fonction rationnelle sur une surface de Riemann pour laquelle 



/l = op -i^ I . 



En effet, dans la relation 



(i) a^ = A(z — ei){z — eo) . . . {z — e^p+i), 



faisons le changement de variable 



d'où 



e/,= 



-2 ^2/J+î 



(e^p-^:, — e/,) z' — (ei— e/,) 



Si k est différent de 2/? -}- 2, on peut écrire 



ek = ( ^2/;-^2 — ^a) — ; 7 .^k = ) 



^2/> + 2 ^1 



et pour k- = 2p -\- '2 

 Substituant et posant 



OÙ 



A'= A(e2p+-2 — ei)(^2/J+2 — ^2) • • • (^2/^+2 — ^2/>4-l' 



on a 



li 



Il = 



(.-'-i)^- 



D'après cela une fonction rationnelle sur la surface de Riemann 

 correspondant à la relation (i), pour laquelle n = 2p -\- 2, c'est- 

 à-dire une fonction rationnelle de n et z. se transforme évidem- 

 ment en une fonction rationnelle de u' et z', c'est-à-dire en une 

 fonction rationnelle sur la surface de Riemann correspondant 

 à la relation (2), pour laquelle n =^ 2 p -\- i , el réciproquement. 



