•24 CHAPITRE I. 



13. Occupons-nous maintenant de Fétude des fondions uni- 

 formes sur une surface de Rieniann. 



Si nous imaginons une des surfaces de Riemann précédemment 

 étudiées, nous dirons qu'une /o/ic/^'o/i v de z est uniforme sur la 

 surface de Riemann quand elle ne prend qu\uie valeur en chaque 

 point (z, u) de cette surface. Par exemple, une fonction ration- 

 nelle c:A.(^, u) de z et u est uniforme sur la surface de Riemann; 

 il en est de même des fonctions 



eë\yz,u) ^ tang<R(^,?03 



Si nous désignons, en général, par 



v=f{z,u) 



la fonction uniforme considérée, elle a, pour chaque valeur de ^3 

 distincte d'un point de ramification, deux déterminations 



correspondant aux deux points analj'tiques (v, u^)^ (-3, f/o) super- 

 posés dans les deux feuillets. Les fonctions symétriques 



^1 + Po et ^\ ^2 



sont évidemment des fonctions uniformes de z dans le plan 

 simple des z] car, lorsque z décrit un contour fermé quelconque 

 dans ce plan, les deux déterminations v^ et v^ ne changent pas 

 ou se permutent entre elles. 



Désignons par [z^^ Uq) un point de la surface de Riemann dis- 

 tinct d'un point de ramification : sur le feuillet correspondant 

 de cette surface traçons un cercle de centre (^o? ^^o) ^t de rayon o 

 assez petit pour que ce cercle ne contienne aucun point de rami- 

 fication; les points de la surface situés dans ce cercle constituent 

 ce qu'on appelle le domaine o du point (^o? Uq)- Dans ce domaine, 

 u et, par suite, v sont des fonctions uniformes de z. 



14. La fonction i> est dite régulière diW point (^q, u^) si, dans un 

 certain domaine o de ce point, elle est développable en une série 



= 2a.( 



procédant suivant les puissances entières et positives de z 



