f PRÉFACE. 



carrée d'un poljnome, et la surface à deux feuillets correspondan 

 à cette racine sont considérées en premier lieu; leur étude sert d 

 préparation aux théories générales. En suivant cette marche e 

 commençant par un cas particulier, on demande moins d'effort 

 pour acquérir l'intelligence de méthodes abstraites et délicates 

 et la difficulté est diminuée pour les aborder ensuite dans tout 

 leur étendue. Dès le début, la notion du genre est donnée sou 

 le point de vue entièrement élémentaire où s'est placé M. Weier 

 strass ; la relation simple entre le genre et le nombre des ligne 

 de passage s'off*re alors comme d'elle-même ; puis le théorème qu 

 sur cette surface les fonctions algébriques considérées sont uni 

 formes avec des discontinuités polaires en nombre fini, et sa récî 

 proque qui est du plus haut intérêt; enfin, en passant de FAlgèbr 

 au Calcul intégral, la définition et les caractères essentiels des inté 

 grales hyperelliptiques des trois espèces. Les mémorables décou 

 vertes de Riemann sur ces quantités sont exposées en détail, elle 

 montrent avec éclat la puissance des méthodes qu'il a introduite 

 dans l'Analyse. 



Le but essentiel de cet Ouvrage est donc d'initier à ces création 

 du génie, en exposant avec clarté les questions complexes de con 

 nexion, la transformation par des coupures de la surface à deu: 

 feuillets en surface simplement connexe, le rôle des coupure 

 comme lignes de discontinuité, cette discontinuité donnant un 

 origine nouvelle aux périodes de Puiseux, nommées modules d 

 périodicité de V intégrale, enfin les relations entre ces module 

 sur lesquelles se fonde la solution du problème de l'inversion e 

 la définition des intégrales normales. Cette étude des intégrale 

 hyperelliptiques, où se succèdent tant d'idées profondes etfécondes 

 tant de beaux et importants résultats, est l'enseignement d'u] 

 nouvel Art analytique qui se poursuit dans un ordre de question 

 plus élevées où l'on considère les fonctions algébriques sous 1 

 point de vue le plus général. La voie a été éclairée d'avance e 



