PREFACE. 



morable théorème d'Abel a ouvert, avec la théorie des fonctions 

 elliptiques, le champ de l'Analyse moderne. Jacobi lui découvre, 

 comme il le dit, son véritable sens, en généralisantJe problème 

 de l'inversion de l'intégrale elliptique, et définissant les fonctions 

 de plusieurs variables à périodicité multiple qui ont un théorème 

 d'addition comme les fonctions elliptiques. Gopel et Rosenhain 

 résolvent les premiers la question de l'inversion dans le cas de 

 l'intégrale hyperelliptique du premier ordre; M. Weierstrass en- 

 suite la traite pour les intégTales d'ordre quelconque, et obtient 

 l'expression générale des nouvelles transcendantes. Les décou- 

 vertes de l'illustre analyste dans une question hérissée des diffi- 

 cultés ardues propres aux fonctions de plusieurs variables , 

 se placent parmi les plus importantes et les plus belles qui aient 

 été faites en Analyse. A ses travaux succèdent ceux de Riemann : 

 le problème de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques 

 est alors traité dans toute sa généralité, et ce sont de nouveau les 

 fonctions holomorphes à un nombre quelconque de variables, ana- 

 logues à la transcendante de Jacobi, qui en donnent la solution. 

 Mais le grand géomètre part d'autres principes et suit la voie qui 

 lui est propre ; il emploie la marche de la variable sur la surface 

 formée de plans multiples superposés, les lignes de passage entre 

 ces plans, le système des coupures par lesquelles elle est rendue 

 simplement connexe; il tire de ses méthodes originales et pro- 

 fondes d'admirables découvertes. 



Les auteurs de ce Livre ont eu pour but d'enseigner ces 

 découvertes : ils se sont proposé d'ouvrir un accès facile aux 

 considérations nouvelles qui en sont le principe; ils se sont atta- 

 chés à donner des explications détaillées sur la construction des 

 surfaces de Riemann, sur la notion de connexion, à familiariser 

 avec l'emploi des coupures, qui ont remplacé les lacets de Pui- 

 seux, dans l'intégration des fonctions algébriques. 



Les plus simples de ces fonctions, qui dépendent de la racine 



