PREFACE. 



mèlre : il en est donc de même pour tontes les courbes du genre 

 zéro, qui ont le plus grand nombre possible de points doubles 

 pour nn degré donné. Ce sont les courbes antérieurement étudiées 

 par M. Gajlej, et auxquelles l'illustre géomètre a donné le nom, 

 généralement adopté, (ï anicursales. Supposons ensuite p = i 

 et /? = 2, ce nombre maximum sera successivement diminué 

 d'une ou de deux: unités; il faudra alors s'adjoindre la racine 

 carrée d'un polynôme du quatrième ou du sixième degré par rap- 

 port à la variable auxiliaire. Les expressions obtenues par cette 

 voie s'appliquent d'abord à l'intégration des fonctions algé- 

 briques de genre />, c'est-à-dire de fonctions rationnelles de la 

 variable et de la racine d'une équation de ce genre. Pour/? = o, 

 ces quantités s'obtiennent sous forme finie; poury^rmi^ elles se 

 ramènent aux intégrales elliptiques; on voit ainsi quelle extension 

 prend la méthode fondée sur l'emploi des substitutions, dont 

 l'usage était auparavant si restreint. Mais c'est dans un autre 

 ordre de question, dans le théorème d'Abel tout d'abord, que la 

 notion du genre se montre avec toute sa portée et sa puissance. 



Abel avait fait la découverte capitale qu'une somme d'un 

 nombre quelconque d'intégrales à limites arbitraires, de la même 

 fonction algébrique, s'exprime par un nombre fixe d'intégrales 

 semblables auxquelles s'ajoute une quantité algébrique et loga- 

 rithmique. 



Riemann établit que ce nombre est le genre de la fonction; il 

 complète ainsi l'œuvre d'Abel et donne à son théorème sa forme 

 définitive par un énoncé d'une simplicité frappante. En même 

 temps, et au moyen de considérations géométriques, il parvient 

 à la définition des intégrales de première, de seconde et de troi- 

 sième espèce, sous un point de vue entièrement nouveau, qui n'est 

 plus celui de la théorie des fonctions elliptiques, et démontre 

 qu'il existe p intégrales de première espèce et p intégrales de 

 seconde espèce, linéairement indépendantes. On sait que ce mé- 



