PREFACE. C 



de la polaire réciproque. On avait reconnu que la classe d'une 

 courbe s'abaisse lorsqu'elle a des points multiples et qu'alors 

 des points d'inflexion disparaissent, mais ces résultats si intéres- 

 sants restaient dans le domaine de la Géométrie. Riemann joint 

 la Géométrie à l'Analyse, en leur donnant une notion nouvelle 

 et féconde, celle des substitutions oii les coordonnées s'expri- 

 ment en fonctions rationnelles de deux variables, ces variables 

 étant aussi des, fonctions rationnelles des coordonnées. Tantôt on 

 a égard à l'équation de la courbe, on les nomme alors substitutions 

 birationnelles ; tantôt on en fait abstraction, on les appelle dans 

 ce cas substitutions de Cremona, pour rappeler les beaux travaux 

 que leur a consacrés l'illustre géomètre. Les équations en nombre 

 infini qui se déduisent de l'une d'elles par ces transformations 

 sont regardées comme équivalentes, leur ensemble forme une 

 classe, et elles ont toutes un élément commun ayant le rôle d'in- 

 variant. C'est un nombre entier que Riemann nomme le geni^e àe 

 la courbe et désigne par/?; il est lié au nombre des points cri- 

 tiques n, et au degré m, par l'égalité 71=^ 2(771 -î- p — i). 



La conception de classe des équations algébriques, celle du 

 genre et la relation qu'on vient de donner comptent parmi ses 

 plus mémorables découvertes; elles ont conduit à ce résultat im- 

 prévu, que les points multiples, qu'on n'avait encore considérés 

 qu'en Géométrie, ont en Analyse un rôle capital, comme éléments 

 caractéristiques des propriétés fondamentales des fonctions algé- 

 briques. On a, en effet, ce beau théorème que les équations d'une 

 même classe se ramènent à une équation normale de degré p -\- 2, 

 ayant un nombre de points doubles égal à ^p(p — i)* ^^ prenant 

 l'énoncé sous la forme simple qui est due à ^L Nôther, et où 

 n'entrent que des points doubles à tangentes séparées, j'en rap- 

 pelle quelques conséquences. 



Supposons que p soit nul, l'équation normale est du second 

 degré, ses coordonnées sont des fonctions rationnelles d'un para- 



