PREFACE. 



divers chemins d'intégration donnent naissance à des détermina- 

 tions multiples, ce qui Ta conduit à l'origine, jusqu'alors restée 

 entièrement cachée, de la périodicité des fonctions circulaires, 

 des fonctions elliptiques, des transcendantes à plusieurs variables 

 définies par Jacobi comme fonctions inverses des intégrales hyper- 

 elliptiques. 



Aux travaux de Puiseux succèdent, en 1867, ceux de Riemann 

 accueillis par une admiration unanime, comme l'événement le plus 

 considérable dans l'Analyse de notre temps. C'est à l'exposition de 

 l'œuvre du grand géomètre, des recherches et des découvertes 

 auxquelles elle a donné lieu qu'est consacré cet Ouvrage. 



Une conception singulièrement originale leur sert de fonde- 

 ment, celle des surfaces auxquelles est attaché le nom de l'inven- 

 teur, formées de plans superposés, en nombre égal au degré d'une 

 équation algébrique, et reliés par des lignes de passage, qu'on 

 obtient en joignant d'une certaine manière les points critiques. 

 L'établissement de ces lignes est une première question de grande 

 importance, rendue depuis beaucoup plus simple et plus facile 

 par un beau théorème de M. Lu roth. S'offre ensuite la notion des 

 surfaces connexes, de leurs ordres de connexion, les théorèmes 

 sur l'abaissement par des coupures des ordres de connexion, puis 

 la formation du système canonique des coupures qui ramènent la 

 surface à être simplement connexe. De ces considérations pro- 

 fondes et délicates résulte une représentation géométrique, qui 

 est un instrument de la plus grande puissance pour l'étude des 

 fonctions algébriques. 11 serait trop long de rappeler toutes les 

 découvertes portant l'empreinte du plus grand génie mathéma- 

 tique, auxquelles elle conduit Riemann; j'en indiquerai seulement 

 quelques-unes. 



Longte'mps avant les travaux de Puiseux, les points critiques 

 s'étaient offerts dans la théorie des courbes algébriques, leur 

 nombre déterminant la classe, ou bien le degré de l'équation 



