SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS, 25 



Si la fonction s'annule au point {zq, Uq), les premiers termes 

 de cette série ont des coefficients nuls, et le développement est 

 de la forme 



r = (:; — ::o)'" [\m ^ A„,+i (^ — ^o) -^- • • ], 



\m étant différent de zéro. On dit alors que le point (^05 ''0) ^st 

 un zéro d^ ordre m. 



Si au point (zq. Uq) la fonction n''est pas régulière, ce point est 

 y\n point singulier. Nous ne considérerons que des fonctions ayant 

 des points singuliers isolés : alors, dans un domaine 8 suffisam- 

 ment petit du point (r^, Uq), il n'y a pas d'autre point singulier 

 que (^0, Uq). Gomme, dans ce domaine, v est une fonction uni- 

 forme de ;:; avec le seul point singulier Zq^ la fonction v peut d'a- 

 près le théorème de Laurent, être développée en une double série 

 procédant suivant les puissances positives et négatives de [z — Zq) 



V= -00 



la partie de ce développement qui contient les puissances négatives 

 de :; — Zq est \ii partie principale de v au point singulier (^05 ^^0)? 

 le coefficient A_, de est le résidu relatif à ce point. Si la 



z — ^0 

 partie principale est une série illimitée, le point (zq^ Uq) est un 

 point singulier essentiel; si la partie principale contient un 

 nombre limité de termes, c'est-à-dire est un polynôme de degré ^ 



en 7-3JT"' 1^ point {zq, Uq) est un pôle d'ordre q. 



15. Voici quelques remarques importantes au sujet des défi- 

 nitions qui précèdent. 



L'intégrale-^^ l^^dz prise dans le sens positif sur le contour 



du domaine & du point [z^^Uq), dans lequel les développements 

 précédents sont valables, est égale au résidu A_, relatif à ce 

 point : en effet, les intégrales de tous les termes de la série sont 

 nulles à l'exception de 



-1-. f^^ d., 



■i-ij z — z^ 

 qui est évidemment A_,. 



