9.6 CHAPITRE I. 



En laissant de côté le cas où le point [zq^ Uq) est un point 

 singulier essentiel, on voit que dans tous les autres cas la fonc- 

 tion (' peut, dans le voisinage de ce point, s'écrire sous la forme 



r = (^ - ^o)nBo+ Bi(-3 - ^o) + B2(^ - -o)- + ...], 



où k est un entier positif, négatif ou nul et Bq un coefficient 

 constant différent de zéro. Si k est positif, le point [z^^ Uq) est un 

 zéro d'ordre k; si k est négatif, ce point est un pôle d'ordre — k; 

 si k est nul, ce point est un point neutre où la fonction est régu- 

 lière et ne s'annule pas. 



Ce nombre k est le résidu de la fonction ," au point 

 (z-o, Uo)- On a, en effet, 



c/logi^ _ k , n , p ., .^, . 



— i • — H- Uo -h L. 1 { X, — ^07 + • • • > 



az z — Zq 



car, Bq étant différent de zéro, la dérivée logarithmique de la 

 série entière est aussi une série entière. Le résidu relatif au point 

 (^o> Uq) est bien k. 



Considérons le point [zq, — Uq) superposé à {zq^ Uq) dans 

 l'autre feuillet et appelons v^ et ç-> les deux déterminations de r 

 dans le voisinage des points (^05 '^o)? (^o? — '^o)- Le résidu de la 

 fonction uniforme de ^, <^i-H^^2> au point Zq, est la somme des 

 résidus de r aux deux points (^o? '^0) ^t (^0? — z^o)- En effet, les 



coefficients de — dans les développements en séries de c, et r.> 



étant A_, et A'_, , celui de — dans (^, -\- To est évidemment 



a_, + a:,. 



Si aucun des points [zq^ Uq)^ {zq^ — ;^o) n'est un point singu- 

 lier essentiel, les développements de p, et ç^ sont, dans les do- 

 maines respectifs de ces deux points, de la forme 



V, ~- (z-zoy'[B', + b; (.- - ^0) + B'2 {z - .-0)2 -f- . . . ] , 



avec Bq et B'^ différents de zéro. La fonction uniforme (^,(^0 sera 

 donc donnée par un développement contenant (z — z^Y^'^^' en 

 facteur; r,P2 admettra le point ^o comme zéro, infini ou point 

 neutre, suivant que k -\- k' sera positif, négatif on nul. 



