SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 29 



est la partie principale; quand cette partie principale est une 

 série illimitée, le point ei est un point singulier essentiel; quand 

 elle est limitée, ce point et est un pôle. 



On appelle résidu relatif au point de ramification ei le double 



du coefficient de 5 2A_2. Cette définition est justifiée par 



les remarques suivantes. Le résidu en un point ordinaire (-^o, ;/o) 



est égal à l'intégrale . 1 vdz. prise dans le sens positif sur le 



contour limite d'un domaine infiniment petit du point (^o^ ''0) ; •! 

 est naturel d'appeler de même résidu au point ei la valeur de 



l'intégrale —^-. 1 i'dz, prise sur le contour limite d'un domaine 



infiniment petit du point Ci, domaine figuré précédemment 

 {Jig' 17); or, pour parcourir ce contour limite, la variable z doit 

 tourner deux fois autour du point Ci, ce qui donne pour l'intégrale 



— : I vdz la valeur 2 A_o, car tous les termes de la série ci-dessus 

 ont des intégrales nulles, sauf le terme en dont l'intégrale 



-i J z — Ci 



d: 



est égale à iK_2 quand z tourne deux fois autour du point e/. 

 Nous avons vu que la fonction uniforme de ;:;, v^ + v'o , a pour 

 résidu au point Zq la somme des résidus de v aux points super- 

 posés (:;o) "o) et (^05 — ^^o) • actuellement le résidu de r, + ('2 

 au point et est précisément égal au résidu de v au même point, 

 car on a 



V = -f- 00 V V = -1-ao 



Pi = ^ Av (^ — et)- y v,= ^ (—1 )v k^iz — et)' 

 = 2 2Aoa(3-^,■)^ 



Vi + w-2 



1A = — 



développement dont le résidu est bien 2 A_2. 



Ecartons le cas où le point et serait un point singulier essen- 

 tiel : alors, dans le domaine de ce point, on peut écrire 



f, 1 



v^{z- e,)i[Bo + Bi {z-ay -+- B, (^ - ei) -+-... l, 



