3o CHAPITRE I. 



oùBo est différent de zéro, k désignant un entier positif si la fonc- 

 tion s'annule au point <?/, négatif si elle devient infinie, nul si la 

 fonction est régulière et différente de zéro au point et. Dans le 

 premier cas (A\>o), le point c/ est appelé un zéro d'ordre A", dans le 

 deuxième cas (A <o), c'est un pôle d'ordre — A, enfin, si A: est nul, 

 le point Ci est un point neutre. Ce nombre A" est encore égal au 



, . j . d logp . ^ (^ ^ 



résidu de — rf- au point a : en ellet, on a 



dz 



k 

 d\oiiv '}. 



î— f [ G, + Cl {z -e/)2'-4- G, {z-ei).. . ], 



dz z ~ e, . . , 



{^z — etY 



développement dont le résidu est A'. On voit aussi que le point 

 Ci est pour la fonction uniforme i'i r^ un zéro ou un infini du 

 même ordre que pour la fonction c : en effet, les deux détermi- 

 nations Ti et V2 s'obtiennent dans le voisinage de et en changeant 



le signe de {^z — ei)'^ ■> 



P, = (^ - e,-) ' L Bo + B, (^ - e,-)^ + B2 {z-e{)^.. \ , 

 v^=.{-Yf{z-eif\'^,-\>„{z-eif^\^,{z-ei)~..\, 



Le produit v^ Co est donc bien égal à (^ — eiY multiplié par une 

 série entière en z — c/, non nulle au point ei. 



17. Il nous reste à examiner les points à l'infini. Supposons 

 d'abord n pair et égal à ?,/? + 2 ; le point à l'infini dans chaque 

 feuillet est un point ordinaire : ces points se distinguent en ce que, 



pour z infini, le rapport ^^^^ a une certaine limite +y/A dans 



un des feuillets, et la limite — y/A dans l'autre. Prenons un de 

 ces points à l'infini oo, dans le feuillet V ^ ; nous appellerons do- 

 maine de ce point la portion du plan située dans le feuillet cor- 

 respondant à l'extérieur d' un cercle de centre O et de rajon R 

 assez grand pour que tous les points de ramification soient dans 

 ce cercle. Dans ce domaine, u et par suite ç sont des fonctions 

 uniformes de z. La fonction est régulière au point ooi si, dans le 



