SURFACES DE RIEM.VNN A DEUX FEUILLETS. 3l 



domaine de ce point, elle est développable en une série 



=2 



\yZ-^ 



y = Q 



ne contenant que des puissances négatives de z : si la fonction 

 étant régulière s'annule au point ce,, les premiers coefficients sont 



nuls et si le développement commence par un terme en — ,1e point 

 Xi est un zéro d'ordre m. 



Lorsque la fonction n'est pas régulière au point oc,, ce point 

 est un point singulier que nous supposerons isolé, c'est-à-dire 

 tel que dans le domaine du point ce, il n'y ait pas d'autre point 

 singulier. Dans ce domaine, la fonction est représentée par la 

 somme de la série 



V 



= 1 



l'ensemble des termes à exposants positifs est la partie princi- 

 pale : s'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants positifs, 

 la partie principale se réduit à un polynôme de degré q 



et le point oc, est un pôle d'ordre q. Dans le cas contraire, le 

 point co, est un point singulier essentiel. 



Dans tous les cas, le résidu relatif au point x, est le coefficient 

 (\g - cJianiié de si^ne, c'est-à-dire — A,. Ce résidu est égal à 



l'intégrale 



4-/-^ 



prise dans le sens positif sur la circonférence limitant le do- 

 maine dans lequel le développement ci-dessus est valable, comme 

 on le vérifie immédiatement en remarquant que tous les termes 

 du développement ont des intégrales nulles, excepté le terme 



en -• 



z 



En écartant le cas où le point x, est un point singulier essen- 



