32 CHAPITRE I. 



lie], on a, dans le domaine de ce point, 



I \ ^" / I T 



oLi Bq est différent de zéro. Si l'entier k est positif, la fonc- 

 tion s'annule au point oc, qui est appelé un zéro d'ordre k : si 

 cet entier est négatif, la fonction devient infinie au point ce, 

 qui est un pôle d'ordre — k ; si k esL nul, le point cxd, est un 

 point neutre où la fonction est régulière et différente de zéro. 

 Comme en un point à distance finie, l'entier k est égal au ré- 



sidu de — ~— au point oc,, car 



d ioiiv k \ l r^ .,1 ^ \ 



dz 





développement dont le résidu à l'infini est /■. 



Pour le point à l'infini coo situé dans le deuxième feuillet, on a 

 des développements analogues. Si nous appelons c, et ç^ les dé- 

 terminations de V dans le domaine des points oc, et coo, A, et A', 

 les résidus respectifs de ces deux déterminations, k et A' les puis- 

 sances de - qu'elles contiennent en facteurs, la fonction uniforme 



r, + To a pour résidu à l'infini A, + A', et la fonction uniforme 

 i-, i'o est, dans le domaine de ^ = ce, représentée par un déve- 

 loppement de la forme 



contenant (-j en facteur, Gq étant différent de zéro. 



Nous venons d'étudier le cas de n pair : passons maintenant au 

 cas de n impair, « = 2/? + i . Le point co est alors un point de rami- 

 fication et, dans la surface de Riemann, une des lignes de passade 

 va du point 62^,^1 à oc, la ligne Ls^ + i,^ ; décrivons de O comme 

 centre, sur la surface de Riemann, une circonférence de rajon R 

 plus grand que la distance du point O au point de ramifica- 

 tion le plus éloigné. Pour que cette circonférence se ferme, il faut 

 tourner deux fois autour du point O, car on change de feuillet, 



