34 CHAPITRE I. 



Le résidu au point oo est le double du coefficient de - changé de 



signe — 2A2; c'est la valeur de l'intégrale—. / (^<i^, prise dans 



le sens positif sur la circonférence qui limite le domaine du 

 point 00 dans lequel les développements ci-dessus sont valables, 

 cette circonférence étant, comme le montre la figure, parcourue 

 deux fois. Si l'on appelle <^i et (^2 les deux déterminations de c^ dans 

 le domaine du point gc, on a 



V = -4-',oo ^ V=-t-oo ^^ 



V = — 00 V=: — 00 



Le résidu de la fonction p» au point de ramification à l'infini est 

 donc encore égal au résidu de la fonction uniforme (^1+ Co à l'infini. 



En écartant le cas où le point à l'infini serait un point singulier 

 essentiel, on peut, dans tous les autres cas, écrire la fonction ç 

 dans le domaine du pointc/D 



- i 



où Bo est différent de zéro; si l'entier k est positif, la fonction 

 s'annule au point de ramification 00; on dit qu'elle admet ce point 

 comme zéro d'ordre k ; si cet entier est négatif, la fonction devient 

 infinie au point co : on dit qu'elle admet ce point comme pôle 

 d'ordre — A; si /i = o, la fonction est régulière et différente 

 de zéro au point ce, qui est un point neutre. Le nombre A' 



est encore le résidu de • — ^— au point ce. En appelant Vi et ^2 les 



deux déterminations de ç obtenues en donnant à ( 7 )' des signes 

 contraires, on voit que la fonction uniforme Ti To est de la forme 



elle admet le point go comme zéro ou comme infini du même ordre 

 que V. 



