SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 35 



18. Parmi les fondions uniformes sur la surface de Riemann, 

 les plus simples, dont l'élude s'impose tout d'abord, sont les fonc- 

 tions rationnelles de z et u. 



Soit 



r = R(3,w) 



une fonction rationnelle de z ^V u \ cette fonction v est une 

 fonction uniforme sur la surface de Riemann, car à chaque point 

 de celte surface correspond un seul système de valeurs de z et u^ 

 et, par suite, une seule valeur pour c. Nous nous proposons 

 d'étudier les propriétés de cette fonction r. 



La fonction rationnelle R(^, u) est le quotient de deux poly- 

 nômes en z et u dans lesquels on peut toujours remplacer les 

 puissances paires de «, u-^ , par leur valeur 



A'7[( j - e,){z -e.,).. .{z — e,/)]'/. 

 et les puissances impaires u-^^^ par l'expression 



u>^i [{z — e,){z — e.^). . .{z — en)]"! . 



On amènera ainsi le numérateur et le dénominateur de r à ne 

 contenir?/ qu'au premier degré, et Ion mettra v sous la forme 



Z3 -t- u Zi 



Z,,Z2,Z3, Z4 désignant des pohnomes en :;. Multiplions et divi- 

 sons cette expression par le facteur 



Z3 — Z/Z; 



et remplaçons encore u- par sa valeur en fonction de z^ nous au- 

 rons V sous la forme 



'= RW ' 



oii P(^), Q(:;), R(^) désignent des polynômes en z que nous 

 pouvons toujours supposer sans diviseur commun : si ces poly- 

 nômes avaient un diviseur commun, on le supprimerait au numé- 

 rateur et au dénominateur. 



19. Cherchons quelle est la forme de la fonction ç dans le voi- 

 sinage d'un point ordinaire (-::o) ^'o) ^^ ^^ surface de Riemann. 



