36 CHAPITRE I. 



Soil{zo,iio)unpo\nlde\diSUTÏ''dcedeR\emsinndlslinct d' un point 

 de ramification; nous l'appellerons pour abréger un point ordi- 

 naire de la surface de Riemann. Dans un domaine o de ce point 

 la fonction u, qui se réduit à Uonu centre du cercle, étant uniforme, 

 finie et continue, est développable en une série procédant suivant 

 les puissances entières et positives de z — z^ par la formule de 

 Maclaurin 



u= Uo-] Uq -I- ^ -^ — w„ ^ . . . , 



les polynômes P(s), Q(;) et R(::) peuvent aussi être développés 

 suivant les puissances de (^ — ^o) par cette même formule, et 

 l'on aura, dans le voisinage de ^ = ^o^ 



F {z)+ uQ_{z)=^ a,^ ai{z — Zo)+ a.^z - z^^^ . . . , 



R{z) = Ro^{z-z,)\V, 



1 .1 



Koi 1^0 1 • • • désignant les valeurs du polynôme l\ et de ses dérivées 

 pour z = Zq; aQ^ ai, . . . des coefficients constants, 



Pour traiter le cas le plus général, supposons a^, a^ . . ., a^. , 

 nuls, avec a^ dilFérentde zéro, Ro, Rq^ • • • , t^o"~" nuls et R,,''^ diffé- 

 rent de zéro. On aura alors 



P + ï^Q = (^ — 5o)'?[a,y + a^+-i(- — sj) + ... J, 



d'où, en divisant, 



^ = -^^^^ = ( — ^o)^-'' [ Ao + Al (^ - 5o) + A2(.- - ^o)^ -f- . . .] , 



où la série entre parenthèses est le quotient de la série 



a./ + «7+1 (^ — -o) +. •. 

 par le polynôme 



dont le premier coefficient est différent de zéro. Le coefficient 

 est par conséquent différent de zéro. 



