SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 87 



Si ^ > /• la fonction r admetle point (^o, «o) comme zéro d'ordre 

 q — r\ si <7 < /• , elle admet ce point comme pôle d'ordre r — q', 

 enfin, si q =^ r, elle est régulière et diflerente de zéro au point 

 (^0, ^0)5 tpi 6st un point neutre. 



i20. Voyons de même quelle est la forme de v dans le voisi- 

 nage &\m\ point de ramification. Soit <?/ un point de ramification; 

 écrivons u sous la forme suivante 



1 

 u = {z — et)- Ui 



avec 



ui = y/(^c — ei)(z — Ci) ... {z— ei-x)K^ — ^i-^\) • • • K^ — ^^n)^ 



le facteur z — et étant laissé de côté sous le radical. Les deux dé- 

 terminations de Ui sont, pour des valeurs suffisamment petites du 

 module de :; — ei^ développables en série de puissances entières 

 et positives de z — ci : l'une de ces déterminations sera donnée 

 par la série 



Ui = <7o -f- a^{z— e/)-f- aAz — ^/)- -h. . . , 



l'autre par la même série changée de signe. On a alors, pour des 

 valeurs suffisamment petites de (.3 — <?/), 



u = (z — eiy^ [rto-^«ri(-— ei)-^a=i{z—eif-^. . .]. 



Cette expression donne les deux déterminations de u autour du 

 point <?/, car, lorsque z tourne autour de e/, le premier facteur 



{z - e^f 

 change de signe. 



En développant P, Q, R suivant les puissances de z — ei, on 

 aura 



P 4- «Q = ^>o -^ ^1 (- - eiY -hb^iz- Ci) -h b,{z — e^y^. . . , 

 R = Co -+- Ci(^ — ei) -+-c.2{z — eiy . .., 



dont la première procède suivant les puissances entières positives 



de (z - ay. 



Pour traiter le cas général, supposons nuls les coefficients 

 bo,bi, .. .,bq-i, Co, Cl, . . ., c,._i, 



