SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. oQ 



d'ordre q — r, suivant que /' — q est positif ou négatif^ quand 

 /' — <y = o, la fonction est régulière et différente de zéro au 

 point oc,. On aura un résultat analogue dans le domaine du 

 point ooo. 



Soit n impair, n ^= ip -\- i. Il y a un point de ramification 

 à rinfini et l'on a, dans un domaine convenable du point oc, 



"--v/Vo-ï)0-ï)...0-^> 



i^/X(I + ^^-^^ 



d'où 



P 



— wQ = ^2 [^«o-i-«i (l)"-^«2 (-\ ^^M J)''"^••• 



R = ^'^ ( 60 -+- 61- 4-. . . -t- br — 



et en divisant 



ir — q 



P 



i^=er[A,.A,(i)^..i.A3(i)^...]. 



Le point de ramification à l'infini est donc un zéro d'ordre 

 ir — q ou un pôle d'ordre q — 2/-, ou un point neutre, suivant 

 que ir — q est positif, négatif ou nul. 



22. 11 résulte de ce qui précède qu'une fonction rationnelle en 

 z et u est une fonction uniforme sur la surface de liiemann, 

 n'ayant à distance finie ou infinie d^ autres points singuliers 

 que des pôles. 



Réciproquement, une fonction v uniforme sur la suif ace de 

 Riemann, et n^ ayant pas d'autres points singuliers que des 

 pôles, est une fonction rationnelle de z et u. 



En effet, appelons u^ et u.2 les deux déterminations de z^ cor- 

 respondant à une même valeur de ^, ^, la valeur de la fonction ç 

 au point {z^u^) de la surface de Riemann, V2 sa valeur au point 

 (3, U2). Posons 



