4o CHAPITRE I. 



les fonctions ^(z) et ^(z) étant définies par ces équations mêmes, 

 qui donnent immédiatement 



comme on le voit^ en ajoutant et s'appujant sur ce que u^ -h 1/2= o. 

 Ces formules montrent que 'f(^) et ^(z) sont des fonctions 

 uniformes de z\ en effet, z étant donné, u,^^ u^-, iU et ç^ ont des 

 valeurs bien déterminées; quand z décrit une courbe fermée dans 

 le plan simple des z, u^ peut se permuter avec a^.-, mais alors v^ se 

 permute avec ^2 , et les fondions symétriques cp(^) et ^(s) ne 

 changent pas. De plus, ces fonctions uniformes o et ^ n'ont pas 

 d'autres singularités que des pôles; car, dans le voisinage d'un 

 point ordinaire (^Zç^^ Uq\ les développements en série de p< , ^'2, 



— ■) — ne contiennent qu'un nombre fini de puissances néf>atives 



de ^ — Zq\ il en est donc de même de o et t!;; dans le voisinage 



d'un point de. ramification e/, les développements de v^. ^2, — 



et— ne contiennent qu'un nombre fini de puissances négatives 



de \l z — <?/; lorsqu'on forme les combinaisons v^ + v», — h — ^> 



les puissances fractionnaires disparaissent et o et 'h n6 contiennent 

 qu'un nombre limité de puissances négatives de (^ — <?/) ; le même 



fait se présente à Tinfini à l'égard de • Les fonctions 'z> (z) et 



tj>(s), étant uniformes dans tout le plan simple des ^, et n'ajant 

 d'autres singularités qne des pôles, à distance finie et infinie, sont 

 des fonctions rationnelles de z. La fonction r, étant égale à 

 'j(z) -^ u^(z) en tous les points delà surface de Riemann, est 

 donc une fonction rationnelle de zet de u. 



Le raisonnement qui précède montre que l'expression géné- 

 rale d'une fonction uniforme sur toute la surface de Riemann 

 est ç = 'f (^) -f- uà(z)^ cp et 6 étant des fonctions uniformes de z. 

 Si la fonction ç n'admet qu'un nombre fini de points singuliers 

 sur toute la surface, ^ (z) et à (z) n'admettent également qu'un 

 nombre fini de points singuliers dans tout le plan de la va- 

 riable z. 



