SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 4l 



23. 11 est important de remarquer que toute fonction v uni- 

 forme sur la surface de Rieinann et régulière en tous les points 

 de cette surface, à distance finie et infinie, est une constante. 



En effet, appelons v^ et ^2 les deux déterminations de cette 

 fonction correspondant à une valeur de :; , on verra, comme 

 ci-dessus, que les fonctions 



sont des fonctions uniformes de z. Ces fonctions sont, de plus, 

 régulières pour toutes les valeurs de z finies et infinies : ce sont 

 donc des constantes. Les deux déterminations, i', et Co, sont 

 racines d'une équation du second degré à coefficients constants : 

 elles sont constantes. Gomme ces deux déterminations deviennent 

 égales aux points de ramification, elles sont égales à une même 

 constante, et la fonction v est constante. 



24. La somme des résidus d'une fonction rationnelle r de u 

 et Zj en tous les points de la surface de Riemann, à distance 

 finie et infinie, est nulle. 



En efi^et, appelons t'i et T;. les deux déterminations de r en deux 

 points superposés des deux feuillets : nous avons démontré, au 

 moment de la définition même des résidus, que, en un point ordi- 

 naire Zq, le résidu de la fonction uniforme r, -f- To est égal à la 

 somme des résidus de v aux deux points superposés (^o^ ^^o) 

 et (^0? — lia)-) et que, en un point de ramification, le résidu de 

 i'i H- To est égal au résidu de v en ce point. Donc la somme des 

 résidus de v est égale à la somme des résidus de la fonction uni- 

 forme v^ -h i'o, qui, d'après les relations 



2P 



se réduit à la fraction rationnelle-^- Comme la somme des ré- 



sidus d'une fonction rationnelle est nulle, le théorème est dé- 

 montré. 



Ce théorème s'étend à une fonction n'ayant qu'un nombre 

 fini de points singuliers, parmi lesquels des points singuliers 

 essentiels. 



