4'2 CHAPITRE 1. 



Voici une conséquence importante de ce théorème : 



Le nombre de zéros d'une fonction rationnelle de z et u 

 sur toute la surface de Rieniann est égal au nombre des infinis 

 de cette fonction, chacun des zéros et chacun des infinis étant 

 compté avec son degré de multiplicité. 



Pour le démontrer, il suffît d'appliquer le théorème précédent 

 à la dérivée logarithmique de la fonction (^, 



dlogv I dv 

 dz V dz 



qui est évidemment une fonction rationnelle de u et z, puisque la 



dérivée -,- est une fonction rationnelle de u el z. 

 dz 



Nous avons établi, en effet, que les seuls points singuliers de la 



C ' d loiïP ^ ^ . • ^ • 1 1 



ronction iv = — ^ — , ou le résidu ne soit pas nul, sont les zéros 



et les iniinis de (^; en un zéro de ç le résidu de iv est égal à l'ordre 

 de ce zéro, en un infini de (^ le résidu de w est égal à l'ordre de 

 cet infini changé de signe, et en un point neutre de ç le résidu 

 de iv est égal à zéro. La somme des résidus de (v étant nulle, la 

 somme des ordres des zéros de ç est égale à la somme des ordres 

 des infinis. 



On peut aussi établir ce théorème en remarquant que la diffé- 

 rence entre la somme des ordres des zéros et la somme des ordres 

 des infinis de ç est égale à cette même différence pour la fonction 

 rationnelle 



car nous avons vu que chaque zéro et chaque infini de ç donne un 

 zéro ou un infini du même ordre dans Çi (^2- Gomme le nombre des 

 zéros de toute fonction rationnelle de z est égal à celui des 

 infinis, le théorème est démontré. 



2o. Nous appellerons ordre total d'une fonction rationnelle ç 

 de z et u le nombre de ses infinis, chacun d'eux étant compté 

 avec son degré de multiplicité. Le nombre des zéros est aussi égal 

 à l'ordre de la fonction. Si l'on appelle Çi et v^o les deux détermi- 



