SURFACES DK RIEMANN A DEUX FEUILLETS. {3 



nations de r, l'ordre est le nombre des infinis ou des zéros de la 

 Ibnction rationnelle 



L'équation 



^' — G = o, 



où G désigne une constante arbitraire, a, sur toute la surface de 

 Riemann, un nombre de racines égal à Tordre total de v; car 

 la fonction ç' — G est rationnelle en z et u, et le nombre de ses 

 infinis, c'est-à-dire l'ordre total de cette fonction, est le même 

 que celui de r. 



26. Exemple. — Soit u- 

 rationnelle 



; considérons la fonction 



z — 1 



et déterminons ses infinis, ses zéros, ses résidus. 



A distance finie, le seul infini est le point de ramification .: = i . 

 Si l'on fait c = i -j- :?', on a, dans le voisinage de :;'= o, 



!'t -^ z'y*— U(\ 



»■- T 



1 ' ^ 



'2 



(--.)= 



4--(.-)-^-^ 



Le point de ramification ^ ^^ i est donc un pôle du second 



ordre, le résidu étant égal à 2. 



Les seuls zéros à distance finie sont les points ^ := o, u =^ziz i, 



car l'équation 



z'*-^ uz- = o 



donne ^-=0, ou z- ^= — u, équation qui n'a pas de racine à 

 distance finie. 



