SLIIFACES DE UIEMANN A DEUX I EUILLETS. 4^ 



En résumé, on a le Tableau suivant : 



I.a somme des résidus est nulle; la somme des ordres des zéros 

 est 5; celle des ordres des infinis est aussi 5. 



L'ordre total de la fonction v est 5. Il est aisé de véiilîer que 

 l'équation (' = C a 5 zéros, quel que soit C. 



27. Nous allons introduire maintenant, en suivant une méthode 

 de M. Weierstrass, une notion d'une grande importance, celle du 

 genre d'une relation algébrique. 



Une fonction uniforme de c régulière en tous les points à dis- 

 tance finie et à l'infini étant une constante, une fonction rationnelle 

 de z devient infinie au moins en un point. Nous avons remarqué 

 (Introduction) que l'on peut former une fonction rationnelle de z 

 avec des pôles arbitraires et des parties principales également arbi- 

 traires : par exemple, la fonction 



devient infinie en un seul point arbitraire a avec un résidu arbi- 

 traire A. 



Il en est autrement pour les fonctions rationnelles de z et u^ 

 u étant lié à z par l'équation 



u'^ = X{z — ey^{z — e-i) . .. {z—en), 

 avec 



n = 2p -T- 1 ou n = ip -T- 2. 



Si une fonction r, rationnelle en z et u, devient infinie en 

 un seul point analytique {z^, Uq) arbitraire, l'ordre de cet in- 

 fini ne peut pas être moindre qu'un certain nombre entier. 



