4b CHAPITRE 1. 



Cet ordre minimum diminué d'une unité se nomme, d'après 

 M, Weierstrass, le genre de la relation algébrique entre u et z^ 

 ou encore le genre de la surface de Riemann correspondante. 



Un point analytique arbitraire est un point dont on peut faire 

 varier à volonté la position sur la surface de Riemann; ce point 

 est donc supposé distinct cV an point de ramification. Nous 

 allons démontrer que le genre des surfaces de Riemann précé- 

 demment étudiées est égal à y?, si n — - ip -\- i ou ip -4- 2. Cher- 

 chons à former une fonction v rationnelle en z et u avec un pôle 

 d'ordre r au point (^07 ^^o)- Cette fonction r peut s'écrire, comme 

 nous l'avons vu, 



P, Q, R désignant des polynômes en z sans diviseur commun. 



Remarquons que, si un point ^0 distinct d'un point de rami- 

 fication est une racine d'ordre A' du polynôme R(5), la fonc- 

 tion V admet au moins un des deux points analytiques (i^o? i/o)> 

 (^05 — ^^0)7 correspondant à ^ = ::o 7 comme pôle d'ordre A". En 

 effet, on ne peut pas avoir en même temps 



P(xJo)^«oQ(^o) ^ o, P(x;o) — «oQ(-o) ^ o, 



car, «0 n'étant pas nul, on aurait 



P(^o)-o, Q(^o)-o 



et les polynômes P, Q, R admettraient un diviseur commun 

 (5 — ^o)- Supposons, pour fixer les idées, P(3o) + ?/oQ(^o) dif- 

 férent de zéro : alors la fonction r devient infinie d'ordre k au 

 point analytique (^o? «o)j et la proposition est démontrée. 



Si le polynôme R(5) admet ei pour racine d'ordre A, et siP(<?/) 

 n'est pas nul, le rapport v devient en et infini d'ordre 2 A, car, 

 d'après les conventions antérieurement faites, on prend comme 



infiniment grand principal . Si P(e/) est nul, Q(c/) ne 



peut pas l'être, P, Q, R n'ayant pas de diviseur commun. Dans ce 

 cas, on peut supprimer au numérateur et au dénominateur de v le 

 facteur y/ ;^ — <?/ et la fonction v devient au point et infinie d'un 

 ordre 2 A — i, au moins égal à i . 



