SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 4? 



Ces remarques étant faites, puisque la fonction doit devenir 

 infinie d^ ordre r au seul point (^o? "0)5 1^ polynôme R(-3) 

 ne doit pas admettre d'autre racine que z^^z^^ au degré r de 

 multiplicité. Car, si ce polynôme admettait une autre racine, la 

 fonction v deviendrait infinie en d'autres points analytiques d'après 

 la remarque précédente; et, si ce polynôme admettait la racine s© 

 à un degré k différent de r, la fonction v admettrait l'un des deux 

 points analytiques (^0? "0) o^^ (^07 — ^^0) comme pôle d'ordre k ; 

 elle ne remplirait pas les conditions demandées. 



On a donc, en négligeant un facteur constant, 



R(^) = (,3-.-o)''. 



Pour z = Zqj la fonction u a deux déterminations Uq et — //(, : 

 la fonction ç devant devenir infinie d'ordre r au seul point 

 (^0, Uq) et devant rester finie au point (^07 — ''0)7 le numérateur 



P(^)-^ uQ_{z) 



doit admettre le zéro (sq, — Uq) à l'ordre /' de multiplicité. Le 

 développement de P(^) 4- ?<Q(^) par la formule de Taylor, au 

 voisinage du point (Zq, — Uq)^ doit donc contenir (:: — ::o)' en 

 facteur, ce qui s'exprime en écrivant que cette fonction et ses 

 (r — i) premières dérivées s'annulent en ce point. 



Il faut, en outre, que la fonction ç soit finie à l'infini. Donc : 

 i^ Si P('3) n'est pas identiquement nul, son degré est au plus 

 égal à /■ ; 2" Si Q(-3) n'est pas identiquement nul, son degré est 

 au plus égal à /■ — p — i . 



En effet, à l'infini, u est d'ordre p -h - en z quand /? = 2/; -4- i , 



et d'ordre /? -f- i quand n^= 2p -\- 2. Donc, si le degré de P dépas- 

 sait /', ou si celui de Q dépassait r — p — i, l'une au moins des 

 déterminations du numérateur serait à l'infini d'un ordre en z 

 supérieur à r, et le rapport 



V = 



R 



deviendrait infini, au moins dans un des feuillets, pour z infini. 



Ces conditions ne peuvent pas être remplies si l'ordre /■ est 

 inférieur k p -\- i ; car alors, si Q n'était pas identiquement nul. 



