4« CHAPITRE 1. 



son degré serait négatifs ce qui est absurde. Le poljnonie Q 

 étant identiquement nul, le numérateur P -t- wQ se réduit à P, 

 et, comme le développement de P-h^^Q suivant les puissances 

 de z — ^0 dans le voisinage du yjoint (sq, — Wo) doit contenir 

 (^ — ^o)'' en facteur, le polynôme P de degré /• doit contenir 

 {z — ^o)'' en facteur : il est donc égal au produit de (^ — ^o)'' par 

 une constante, etl'on a 



ç = const. 



Donc, Vordie r du pôle unique {zq^ u^) de ht fonction v ne 

 peut pas être inférieur à p-^\. Le genre est bien /?, comme 

 nous l'avons annoncé. 



La fonction ç existe, au contraire, si r^p + i. Par exemple, 

 si /'=^-]-i, elle est entièrement déterminée à une constante 

 additive et à un facteur constant près. En effet, Q(^) devant 

 être de degré zéro, se réduit à une constante C. Le polynôme 

 P(^) de degré />> + i est assujetti à cette condition que le déve- 

 loppement de 



dans le voisinage de ^ = i^o? u^= — if^a-, contienne [z — ^o)^^' en 

 facteur. On a donc 



P(-^) 



+ X{z-z,)P^^, 



A désignant une constante : d'où enfin résulte pour v l'expression 



{z — z^)-\-...^ "'^ {z — Zç,)P-^U 



u\ 



= A + G— ' '-''-P 



^z-z,y^-^ 



avec deux constantes arbitraires A et C. 



Nous avons supposé le point {zq, Uq) arbitrairement variable 

 sur la surface et distinct des points de ramification. Une fonction 

 ayant un seul pôle placé en un point de ramification peut y de- 

 venir infinie d'un ordre moindre que (p -+- 1). Ainsi, quel que soit 

 le genre, la fonction 



