SURFACKS DE HIEMANN A D E U \ F E l I L LET S. 49 



devient, au seul point de ramification <?/, infiniment grande du 

 second ordre. 



28. On peut généraliser le résultat précédent en cherchant 

 à former une fonction r, rationnelle en z et u, ajant q pôles 

 arbitrairement choisis (a, , 6| ), . . . , (a^, 6^), distincts des points 

 de ramification, avec des degrés de multiplicité déterminés a,, 

 a^j, .. ., ay. Cette fonction sera d'ordre 



Elle n'existe, on le voit, comme tout à l'heure, que si r^p -f- i. 

 Les polynômes P, Q, R sont alors assujettis aux conditions 

 suivantes : R est déterminé, à un facteur constant près, 



R = (^ - «1 )^> (^ - a,y^^ ...{z- aq)y-, ; 



P est de degré au plus égal à r, Q de degré au plus égal à 

 /• — p — I ; le numérateur P -t- ;<Q, développé par la formule de 

 Tajlor, doit contenir (; — «t)^' en facteur dans le voisinage de 

 («,, — /;,), (-3 — ao)^^ en facteur dans le voisinage de («2, — 60), ..., 

 (r — t/^)^*? dans le voisinage du point (<^y, — ^y).Le polynôme Q 

 étant choisi arbitrairement du degré r — p — i, le poljnome P 

 est de la forme P=: AR-f-P,, A désignant une constante et P, 

 un polynôme de degré /• — i entièrement déterminé par les con- 

 ditions précédentes : on connaît en effet les valeurs de P, et de ses 

 (a, — i) premières dérivées pour z=^ a^^ les valeurs de P, et de ses 

 (ao — i) premières dérivées pour z =: a,, etc., ce qui donne, 

 comme il est connu, ;• conditions déterminant les /• coefficients 

 de P,. {Voir un article de M. Hermite, Journal de Crelle, t. 84-, 

 p. 70). 



L'expression de v est donc 



^-'^^ — wj) — ' 



où A est une constante arbitraire et Q(^) un poljnome arbitraire 

 de degré r — p — 1. Cette expression contient, outre A, /• — p 

 constantes arbitraires d'une façon linéaire et homogène. Dans le 

 voisinage de chaque pôle, les coefficients de la partie principale 

 sont en nombre égal au degré de multiplicité du pôle : il y a donc 

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