SURFACES DE RIEMANN A DEUX FEUILLETS. 5l 



Pour z := a^, 11= — bij là valeur de ç doit rester Jinie, car la 

 fonction v doit avoir le pôle («, , ^, ) et non (a^ , — bi). On a donc 



A;.^;. 



\ - 



fonction qui, à distance finie, admet évidemment les seuls pôles 

 («,, bi ), («25 ^2)? • • • j {(^r, br) du premier ordre. 



Mais les coefficients A,, Ao, . . . , A^ ne sont pas arbitraires : 



en effet, ce sont les résidus de la fraction rationnelle ^, dans la- 



K 



quelle le degré du numérateur est r — p — i, celui du dénomi- 

 nateur étant r. La somme des résidus de cette fraction rationnelle 

 à distance finie est donc nulle, et il en est de même de la somme 

 des résidus des fractions 



_, -j^, ..., ___, 



car le degré de z-P-^ Q est encore inférieur de deux unités à celui 

 du dénominateur, de sorte que le résidu à l'infini est nul. 



On a donc, entre A,, Ao, . . . , A^ et a,, «2, ..., «r les/? rela- 

 tions nécessaires 



A,-i- A2-1-. . . — A,. = o, 



Ajai-j- A2a2-{-. . --^ A^a,. = o, 



(3) { Ai«f-f- A,a2_|_. __i_ \^.^2_ o^ 



Al <-i ~ A,«5-i -. . . -f- X,aP,-^ 



Ces relations sont suffisantes pour que la fonction trouvée 

 remplisse toutes les conditions demandées. En effet, on vérifie 

 que, si ces conditions sont remplies, la fonction v définie parla 

 relation (a) est finie à l'infini. Par exemple, si n est pair 

 et égal à 2/? -t- 2, on a dans le voisinage du point x, dans l'un des 

 feuillets 



Il = v/Â Z^/'+i-f- Go^P+ Gi^/'-i + . . . + C/,_, z -^ G,,-- li^±i ^. . . V 



