SURFACES DE RIE M A NX A DEUX FEUILLETS. 53 



déterminant qui est différent de zéro, puisque toutes les quantités 

 «, , rto) • • : (^r sont supposées différentes. 



Si les points («i , b^ ), (a^j ^2)7 • • • ? (<^rj ^r) n'étaient pas arbi- 

 traires, c'est-à-dire variables indépendamment les uns des autres, 

 la fonction v pourrait exister pour r <^/? + i . Par exemple, si l'on 

 prend les deux points (<7,, 6,), («,, — ^,), qui sont superposés 

 dans les deux feuillets, il existe une fonction admettant seulement 

 ces deux pôles au premier degré, c'est 



A: 



30. Nous venons de voir que le genre de la relation 



if2= k{z — ex){z — ei) . ..{z — en)i 



où n=z 1 p -\- i ou ip -f- 2, est p. 



Le genre des deux relations prises d'abord comme exemple, 



(5) u'^ = z, u-= X{z — ei){z — e-i), 



est zéro. On peut donc former une fonction rationnelle de z et u 

 avec un seul pôle du premier degré placé en un point arbitraire; 

 sous ce rapport, ces fonctions sont de même nature que les fonc- 

 tions rationnelles d'une variable représentée sur le plan simple. 

 La raison en est que l'on peut exprimer, dans les relations (5), u 

 et z en fonctions rationnelles d'un paramètre ^, de telle manière 

 qu'à chaque valeur de t réponde un seul point (:?, u) de la sur- 

 face de Riemann et réciproquement ; pour employer un langage 

 géométrique, cela tient à ce que les courbes (5) sont unicur- 

 sales. 



En effet, pour la première des relations (5), il suffit de poser 



z = t\ u = t, 



et pour la seconde 



u=ts/X{z — ei), 

 \ d où 



z 



- , u = /a 



i- et l'on voit que la condition est réalisée. En imaginant le plan 



