INTÉGRALES II Y PE R E L L I PT I Q L ES. 55 



CHAPITRE II. 



INTÉGRALES HYPERELLIPTIQUES (»). 



Propriétés générales. — Singulai'ités des intégrales hyperelliptiques. — Différentes 

 espèces d'intégrales.— Le nombre des intégrales de premièi^e espèce est égal au 

 genre. — Intégrales de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques. 

 — Intégrales de deuxième espèce avec un seul pôle. — Mojen de déduire ces 

 intégiales de celles de troisième espèce. — Expression d'une intégrale hyperel- 

 liptique quelconque à l'aide d'intégrales des trois espèces. — Expression d'une 

 fonction rationnelle par une somme d'intégrales de première et de deuxième 

 espèce. — Décomposition en éléments simples. — Exemple. — L'intégrale élé- 

 mentaire de deuxième espèce est une fonction rationnelle du paramètre. — Expres- 

 sion d'une fonction rationnelle à l'aide d'intégrales de première et de troisième 

 espèce. 



31. Soit (' une fonction rationnelle de :? et u 



'= KÎV) ' 



(intégrale 



Az,iù 



}{z,u) = j vdz 



est une intégrale abélienne attachée à la relation 



ir- = k{z~ ex){z~e^_) ..Az — €n), 



ou à la surface de Riemann correspondante. Les intégrales abé- 

 liennes ainsi formées se nomment JivperelUptiques (-). On sup- 

 pose la limite inférieure placée en un point analytique déterminé 

 [zq^ Uq) de la surface de Riemann, et l'intégration effectuée le 



(' ) Ouvrages à consulter : Nkumanx, Théorie der Abelschen Intégrale: Clebsch 

 et GoRDAX, Théorie der Abelschen Functionen : erster Abschnilt. 



(*) On d^'^eWe, en ^éï\éva\, intégrales hypeielliptiques ceWes qm ne contiennent, 

 sous le signe d'intégration, d'autre irrationalité qu'un radical carré portant sur 

 un polynôme d'un degré supérieur au quatrième. Toutefois nous conserverons 

 ici le même nom, quel que soit le degré de ce polynôme. 



