56 CHAPITRE II. 



long d'une certaine courbe tracée sur la surface et aboutissant au 

 point analytique [z^ u)^ qui forme la limite supérieure. La valeur 

 de l'intégrale est une fonction de la limite supérieure, c'est-à-dire 

 du point analytique (;:;, «)•, elle dépend aussi, dans une certaine 

 mesure, du chemin d'intégration allant du point (^o^ ^^o) ^^^ point 

 (s, u). Quand, ces points restant fixes, le contour d'intégration 

 varie, les différentes valeurs que peut acquérir l'intégrale ne dif- 

 fèrent que par certaines constantes additives appelées modules de 

 périodicité, car toutes ces valeurs de l'intégrale ont même dé- 

 rivée V par rapport à :;. 



32. Nous allons d'abord étudier la nalure des points singuliers 

 d'une intégrale lijperelliptique sur la surface de Riemann. 



Si en un point à distance finie de la surface de Riemann la 



fonction ç est régulière, l'intégrale J(^, u) est aussi régulière 



en ce point. Gela résulte immédialement de ce que l'intégrale 



d'une série procédant suivant les puissances positiçes croissantes 



1 

 de z — Go ou de (z — Ci)'^ est une nouvelle série de même foime, 



convergente dans le même domaine que la première. 



Voyons maintenant comment se comporte l'intégrale J(g, u) 

 dans le domaine d'un pôle de la fonction ç. Soit («a, b/() un pôle 

 de P", d'ordre m^ placé en un point ordinaire de la surface à dis- 

 tance finie. Dans le domaine de ce point on a, en appelant Ryi 



le résidu de i^ et écrivant le premier le terme en -^ — 







-h Ao-+- Ai(^ — «A-) -i- AaC^ — a/,)--^ 



En intégrant et désignant par G une constante d'intégration, on 

 a l'expression suivante de l'intégrale, A^alable dans le même do- 

 maine du point [aji^ b^), 



A— m A_,,,.+-i 



J(.^, u)=C-i- Ra- log(^ - a^-) - 



(m — i)(^ - a/,)'«-i {m — ■j.){z — a/,) 



iii — i 



A_2 . , . . iz — ai,.f- 



z — ak 1 



Donc, lorsque le résidu R/; est nul, l'intégrale J(g, u) est uni- 



