INTÉGRAL KS II Y PEU E L L I PT I Q U ES. 67 



forme dans le domaine o du point (a^, bh) qu'elle admet comme 

 pôle d'ordre m — i. Mais, lorsque le résidu R/f n'est pas nul, l'in- 

 tégrale n'est plus uniforme dans le domaine o : elle augmente de 

 27r«RA quand le point (z^u) décrit, à l'intérieur de ce domaine, un 

 contour fermé tournant une fois dans le sens positif autour de 

 («A) bk)' On dit alors que le point (a^, bk) est un point singulier 

 logarithmique de l'intégrale. 



Soit maintenant un point de ramification^/ que la fonction r 

 admet comme pôle d'ordre /??, le résidu étant R/. On a, dans un do- 

 maine du point ei, en écrivant d'abord le terme en , 



^ - — ei 



_ ^^' , -^-/n _^ A-;„+i ^ A-3 



-i- ■ '' "' -y 4- Ao -f- AiC j — e/)^ -+- A2(^ — e,-) -H . . . , 



i^-en' 



car, par définition, le résidu R^ est le double du coefficient de 



En intégrant et désignant par C une constante, on a, dans 



le même domaine, l'expression suivante de l'intégrale : 



(Z,U) ^C-h- R/l0g(3 — Ci)- -jj^-^ 



(ni — 2)(.3 — Ci) - (m — 3)(^ — et) - 



2 A-3 - 2 \| ^ 



— — — ^+2A-i(^ — e/)2 + Ao(^ — e/)4- ~~ (z — ei)'^ - 



{z-etY ^ 



Lorsque le résidu R/ est nul, l'intégrale est uniforme dans le 

 domaine 3 du point ei qu'elle admet comme pôle d'ordre m — 2, 

 tant que m est supérieur à 2; si/?? = 1 , elle est régulière en ce point; 

 le cas de m = 2 ne peut pas se présenter avec l'hypothèse R/= o. 

 Lorsque R/ n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le 

 domaine S du point ei\ elle augmente de 2-iR/ quand le point 

 (5, u) décrit autour de ei dans le sens positif et à l'intérieur du do- 

 maine 8 une courbe fermée sur la surface de Riemann, ce qui 

 exige, comme nous l'avons vu (p. 2-), que^ ionme deux fois au- 

 tour de et. Le pointe^ est alors un point singulier logarithmique 

 de l'intégrale. 



