58 CHAPITRE ri. 



Eludions, pour lermincr, la forme de l'intégrale dans le domaine 

 d'un j)oint à l'infini. 



D'abord, si n est pair, les deux points à Tinfini dans les deux 

 feuillets sont des points ordinaires de la surface de Riemann. Dans 

 un certain domaine d'un de ces points, oc, par exemple, v est de la 

 forme, en prenant le cas le plus général, 



^ ^ _ _j°_ _^ A_,„^'«-^- A_,„+i^'"-i-k ... k-,z ^.A„ • 

 z 



AÏ i ï 



en commençant par le terme en - , et appelant R^'' le résidu re- 



z 



latif au point oo, , résidu qui est le coefficient de - changé de signe. 



z 



En intégrant, on a, dans le même domaine, 



}{z,u) ^ C-f-RL^Mog- 4- AzZ^^m+i_^^...^. ^-A^2_^ AoZ 

 z m -^ \ 9. 



_- 4, i _ ^ _L _ 



' ' z '2 Z^ 



Lorsque le résidu l\J est nidy l'intégrale est uniforme dans 

 le domaine du point co, ; si (^ admet ce point comme pôle d'ordre 7?z, 

 .) l'admet comme |3Ôle d'ordre /n-\~i. Lorsque le résidu R^" 

 n'est pas nul, l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine 

 considéré du point cCi ; elle augmente de 2T:f RjJ' quand le point 

 (z, u) décrit dans le sens positif à l'intérieur du domaine consi- 

 déré un cercle de centre ^ = o. Le point ce, est alors un point 

 singulier logarithmique. 



Pour que l'intégrale J(^, ?<) reste finie, c'est-à-dire soit régu- 

 lière au point cC|, il faut, d'après le développement ci-dessus, que 



le développement de v commence par le terme en --> et que 



tous les coefficients précédents soient nuls, c'est-à-dire que ç soit 



dans le voisinage du point ce, infiniment petit de l'ordre de — 



ou d'un ordre supérieur. Les mêmes remarques s'appliquent au 

 point GOo, qui peut être un pôle, un point singulier logarithmique 

 ou enfin un point où l'intégrale est régulière. 



