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Si l'infini est un point de ramification (/z imj3air), on a, dans un 

 certain domaine de ce point, 



i R '3 //^-1 1 



^..(0^-A,(i)V..(l)^..., 



en appelant R^ le résidu relatif au point ce et écrivant le terme en 

 - le premier. On a donc, en intégrant, 



J(^,zO = C-i-R3,log('^) 



2 A. 



2A._, I , , , 2A-1 i 



Ao^-f-— ^^^-^ -2 A3 



m -:- I 



(if- T- 



Lorsque le résidu R^ est nul, J est uniforme dans le do- 

 maine du point oc; si ç admet ce point comme pôle d'ordre m, 

 J l'admet comme pôle d'ordre m + 2. Lorsque R^ n'est pas nul, 

 l'intégrale n'est plus uniforme dans le domaine du point oc : elle 

 augmente de 2t:/R^ quand {z, a) décrit sur le domaine du point, 

 dans le sens positif, une circonférence fermée autour du pointoc, 

 circonférence qui doit être parcourue deux fois, comme nous 

 l'avons vu (p. 33). Le point 00 est alors un point singulier loga- 

 rithmique de l'intégrale. Pour que l'intégrale soit finie, c'est- 

 à-dire régulière au point oc. il faut et il suffit que le premier terme 



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du développement précédent de v soit le terme en ( -- j , ou un 

 terme de degré supérieur en - • 



En résumé, dans le domaine d'un point quelconque (a, b) de 

 la surface de Riemann, ou bien l'intégrale est régulière, ou elle 

 admet ce point comme pôle, ou elle admet ce point comme point 

 singulier logarithmique. Dans ce dernier cas, si 1 on appelle R le 

 résidu relatif au point (a, b), on a, dans un certain domaine de 

 ce point, 



J(^, u) = Rlog(^ — a) — o(z, u), 



fo étant uniforme dans le domaine du point (a, b), régulière en ce 



