60 CHAPITRE II. 



point, ou radmeltant comme pôle. Dans celte formule, pourrésii- 



M~ mer tous les cas, il faut convenir de remplacer z — a par (^ — Ci)- 



quand (a, b) coïncide avec un point de ramification, par - quand 



(a, b) est un point ordinaire à l'infini, et par ( - j quand (rt, b) 

 coïncide avec un point de ramification à l'infini. 



33. Gomme la somme de tous les résidus de la fonction ç est 

 nulle, l'intégrale J peut na^oir aucun point singulier logarith- 

 mique, si tous les résidus de v sont nuls séparément ; mais, si elle 

 possède un point singulier logarithmique, elle en a au moins un 

 second, car tous les résidus ne peuvent être nuls, sauf un seul, 

 puisque leur somme est nulle. 



Les intégrales les plus simples possédant des points critiques 

 logarithmiques sont donc celles qui en possèdent deux avec des 

 résidus nécessairement égaux et de signes contraires. 



Toute intégrale abélienne est une somme d'intégrales rentrant 

 dans l'une des trois catégories suivantes : 



1° Une intégrale abélienne est de première espèce quand elle 

 reste finie, quel que soit le point analytique (^, w), à distance 

 finie ou infinie, formant la limite su])érieure : une telle intégrale 

 est une fonction du point analytique (:;, u), régulière en tous les 

 points de la surface de Riemann, mais non uniforme ; 



2" Une intégrale abélienne est de deuxième espèce quand ell 

 devient infinie en un seul point de la surface de Riemann et qu 

 ce point est un pôle de l'intégrale; 



W Une intégrale abélienne est de troisième espèce quand ell 

 devient infinie seulement en deux points (a, b) et (a', b') de 1 

 surface de Riemann, qui sont des points singuliers logarithmiques 

 de telle nature que, dans le voisinage de ces points, elle puisse 

 être représentée par des expressions de la forme 



— log(^ — a) + cp {z, u), 



co(5, u) et '^' {z^ u) désignant des fonctions régulières respective- 

 ment aux points {a, b) et {a', b'). 



