INTÉGRALES H V P E R E LL I P T I Q U ES. 6l 



34. Nous éludicrons d'abord les intégrales de première 



espèce. 

 Soit 



.»)^r 



"^V^uO 



dz 



une intégrale de première espèce. Le polvnome P doit être iden- 

 tiquement nul. En effet, appelons (v' et w" les deux détermina- 

 tions de Tintégrale aux deux points analytiques superposés (-•, ;/,) 

 et (;, «2)5 if^x et Wo désignant les deux déterminations de u cor- 

 respondant à une valeur de z\ nous aurons 



= \[ -r''^- 



L'intégrale (v étant de première espèce, toutes ses détermina- 

 tions w' et w" doivent rester finies, donc aussi la somme (t' -h w" . 

 Or, si P n'est pas identiquement nul, ou bien la fonction ration- 



P 

 nelle -^ dépend effectivement de z, et alors elle devient infinie en 



un ou plusieurs points où l'intégrale qui donne ^v' -\- w" devient 



P 



également infinie^ ou bien ^ est une constante C différente de 



zéro, et alors l'intégrale qui donne iv' •+- w" ^ étant égale à 

 2C(^ — ^o)j devient infinie à l'infini. Pour que tv' H- (v^^ i este 

 finie, il faut donc que P soit nul identiquement. L'intégrale w ne 

 peut être que de la forme 



qui peut aussi s'écrire, évidemment, en appelant S le polynôme 



f 



m'^^- 



