6-2 CIIAPITRK II. 



Il reste à voir ce que doivent être les poljnômes S et R, sup- 

 posés débarrassés de leurs facteurs commuus, pour que w soit par- 

 tout finie. 



Tout d'abord l\doil se réduire à une constante. En eflet, si K 

 admettait une racine r^, distincte d'un point de ramification, 

 d'ordre /r, on aurait, au voisinage de z ^=z a. 



u\\ ^ {z — aY^ """ ^z — a)'^-^ -^ • . . + -^-3- .- (Ile -i- . . . , 



+ «/i-i lo<^(^ — «)+..., 



expression infinie pour z = a. Si R admettait comme racine 

 d'ordre k un point de ramification ei, on aurait, dans le voisinage, 



_i_ <^A-l ^k 



... .j -: ^ -i . . . , 



(z-e,)-' {z-e^r^ 



{k--i){z-e,r-^ {k~i){z^^e,)"-^ (z-eo^ 



expression infinie pour z = e/. 



Le poljnome R ne devant admettre aucune racine est une 

 constante , et l'expression de l'intégrale de première espèce 

 devient 



II-- 



Toute intégrale de cette forme est finie en tous les points à du 

 tance Jinie, car, dans le voisinage du point <?/, on a 



S «0 , .^ ^ 



S 





expression finie pour z ■=. ei. 



11 reste à exprimer que w reste finie pour z infini. Appelons s 

 le degré du polynôme S. Pour z infiniment grand, l'élément dif- 



