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ferentiel - est, en 3, de l'ordre s ^ -; pour que l'intégrale soit 

 finie, il faut et il suffit que cet ordre soit inférieur à — i, d'où 



s < I . 



« '1 



ï^orsque n est pair, /i ^^ ip -h 2, on a 



s <p 



et, si II est impair, n =^ "ip -^ ] ^ 



I 



Dans les deux cas, la plus grande valeur de s est p — i ; on pourra 

 donc prendre pour S le polynôme 



S = À, ^ X,^ -I- Xgs^^. . .^- X^:;/'-', 



avec/? coefficients arbitraires X.), X.o, .... A^, et l'intégrale w ainsi 

 obtenue est l'intégrale la plus générale de première espèce. En 

 posant 



^^k = / dz, Â- = 1 , 1, '■, p, 



l'intégrale w la plus générale de première espèce pourra s'écrire 



(V — Xi (Pi -r- X^tiP'a — ...-;- Xpcr^ -T- const.; 



elle est donc une fonction linéaire à coefficients constants de /> 

 intégrales spéciales de première espèce (r,, (Vo, . . . , Wp. Ces inté- 

 grales (ï,, (T;,, ..., Wp sont linéairement indépendantes; il est 

 impossible de trouver des coefficients constants G,, Co, •••, C^ 

 tels que l'on ait 



Cl wi -i- G2 «^-2 -r- . . . -h Cp H'y, = const. ; 

 en elTet, la différentiation donnerait la relation 



G, ^ G.2-3 -^ G3S2 -- . . . -i- Cpzi'-^ = o, 



qui ne peut être satisfaite identiquement que si les constantes 

 G|, G2, . . . , Gp sont nulles. 



