64 CHAPITRE II. 



En résumé, le nombre d^ intégrales de première espèce li- 

 néairement indépendantes est égal au genre. 



Toute intégrale de première espèce est une fonction linéaire à 

 coefficients constants de ces p intégrales particulières. 



35. Voici maintenant comment on obtient les intégrales 

 de troisième espèce. Proposons-nous de fortner une intégrale 

 possédant les propriétés suivantes : elle est partout finie sur la 

 surface de Riemann, excepté en deux points analj'tiques donnés, 

 (a', b') et (a, Z>); dans un certain domaine du premier, elle est de 



la forme 



log(s — a') -+- Oy{z,ii), 



et, dans un certain domaine du second, de la forme 



— \o^{z — rt) H- ^{z, II) , 



C2, et c? désignant des fonctions régulières respectivement aux 

 points (a', b') et (a, b). Conformément à la convention que nous 



avons faite pour les points singuliers logarithmiques (p. 60), il 



1 

 2 



faudra dans ces deux expressions remplacer (s — a) par (z — Ci) 



ou --. ou ( - ) j suivant que le point (a, b) coïncide avec un point 



de ramification, un point ordinaire à l'infini, un point de rami- 

 fication à l'infini; de même pour (z — a') à l'égard du point 

 («', b'). 



Supposons d'abord ces deux points («', b') et (a, b) à distance 

 finie, l'intégrale 



J 'iu\z — a z — a 



remplit les conditions de l'éjioncé. 



Prenons d'abord pour (a', b') [a, b) des points analytiques dis- 

 tincts des points de ramification. L'élément différentiel devient, à 

 distance finie, infini aux points de ramification, car en ces points u 

 s'annule ; mais en un de ces points et l'élément différentiel devient 



infini comme ^ j? et l'intégrale est régulière en ce point. 



L'élément différentiel devient encore infini à dislance finie aux 



