INTÉGRALES H YPERELL I PT I QU ES. 65 



deux points (a', b') et («, b)^ chacun de ces infinis étant du 

 premier ordre avec les résidus respectifs 4- i et — i . En effet, la 

 fraction 



I u -{- b' 



iii z — a! 



reste finie au point {d ^ — 6') dans le domaine duquel elle est ré- 

 gulière, et devient infinie du premier ordre avec un résidu égal à 

 I au point (a', b'). De même la fractioa 



I u -^ b 



est finie au point (a, — 6) et devient infinie du premier ordre 

 au point («, Z>), avec le résidu — i . 



L'intégrale a donc bien dans le domaine des deux points 

 ( a', 6'), (a, b) la forme requise. En outre, elle est régulière à l'in- 

 fini, car on peut l'écrire 



P (-^, - ^)d. + f^ (-*-, -. -±-) a., 



J 1 \z — a z — a) J iu\z — a z — a J 



et les deux intégrales séparées sont manifestement finies pour 

 c = ao : dans la première, l'élément différentiel est, pour z infini. 



/i^tZ^iment petit de l'ordre de (M , et, dans la seconde, il est infi- 

 niment petit de l'ordre de 



Cette intégrale m remplit donc toutes les conditions demandées. 

 Il est bon de remarquer que, si les deux points (<:/, b'), (a, b) sont 

 superposés, a' =z a, b' =^ — b, et l'intégrale prend la forme 



I 



X 



(z,u) 



h_^dz 

 — au 



La même intégrale m continue à remplir les conditions deman- 

 dées quand l'un des points (a', b'\ (a, b) vient coïncider avec un 

 point de ramification. Supposons, par exemple, a =6/, ^' := o, 

 on a 



\i\b 



J 2.U \z — ei z — a / 



cette intégrale se comporte aux points de ramification autres que 

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