INTÉGRALES H Y P ERE LL I PTI Q U ES. 69 



avec p coefficients arbitraires )h , ^^2, •••7 ^/j- En effet, si deux 

 intégrales de troisième espèce ont les mêmes points singuliers 

 logarithmiques (a', b') et (a, ^), avec les résidus respectifs -f- 1 

 et — I, leur différence est partout finie; cette différence ne pour- 

 rait devenir infinie qu'en un des points {a', b')^ (a, b): dans le 

 domaine du point («, b)^ les deux intégrales sont de la forme 



— log(^ — a) -+- fonction régulière au point (a, b); 



leur différence est donc évidemment régulière au point (a, b). De 

 même au point (a', b'). Cette différence étant régulière partout est 

 une intégrale de première espèce. 



38. On peut former une intégrale unique de troisième espèce 

 qui conserve un sens, quelle que soit la position des points 

 (a', b') et [a, 6), à distance finie ou infinie. Pour cela, désignons 

 par A une constante arbitraire essentiellement différente de a et 

 de a', puis posons 



Cette expression, dans le cas où (a', b') et (a, 6) sont à distance 

 finie, ne diffère de l'intégrale 



que par une somme d'intégrales de première espèce, car tous les 

 termes, tels que 



-^^^ dz (v = o, I, 2 .. .,/> — !,) 



sont des intégrales de première espèce. L'intégrale W se réduit 

 d'ailleurs à nj^;^ , si l'on fait ). infini, ce qui est permis quand 

 (a', b') et (a, b) sont à distance finie, car \ est assujetti à la seule 

 condition d'être différent de a et de a' . Mais cette intégrale W 

 possède cet avantage de conserver encore un sens quand l'un ou 



