INTÉGRALES H YPE R ELL I P T IQ U E S. 7I 



et un calcul analogue au précédent donne 



*^ (=0. "0) 



expression qui ne diffère de mZ] que par des intégrales de pre- 

 mière espèce et qui se réduit à Tn"| pour A = o. 



Enfin , supposons n impair et égal à 2/> -^ i , et imaginons que le 

 point (a, b) coïncide avec le point de ramification co. Alors le rap- 



b 1 , , 



port —j^^ tend vers zéro, la quantité 



.z — a 

 tend vers zéro, et l'on a 





expression qui ne diffère de ru^*' que par des intégrales de pre- 

 mière espèce et qui tend vers tu^'^ quand on prend ). infiniment 

 grand. 



L'intégrale la plus générale de troisième espèce admettant les 

 points singuliers («, b) et (a', 6') est encore 



^'a/ô'' -+- >^1 ^^1 4- X, tV, -I- . . . -i- \p Wp. 



39. Voici quelques propriétés des intégrales précédentes. On a 



d'après l'expression même de rn etT, car la permutation de {a\ b') 

 et (a, b) change le signe de l'élément différentiel. En particulier, 

 si [a , b')^=[a^b) ^ les intégrales m et W sont identiquement 

 nulles. 



Soient u^ et Wo les deux déterminations de u correspondant à 

 une même valeur de z. Les sommes 



<:b\z, u,) -f- <'i'' {z, u,), <f{z, iH)-^W-;;t{z,u^) 



